Question

（2012•孝感模擬）已知函數(shù)f（x）=

1

x

+aln（x+1）
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若f（x）在[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=

2x2-x-1

x2(x+1)

=

(x-1)(2x+1)

x2(x+1)

，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及極值的定義求出f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（II）若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≥0恒成立，若f（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≤0恒成立，由此得到參數(shù)所滿足的不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

1

x

+2ln（x+1），定義域是（-1，0）∪（0，+∞），
f′(x)=-

1

x2

+

2

x+1

，即f′（x）=

2x2-x-1

x2(x+1)

=

(x-1)(2x+1)

x2(x+1)

，
由f′（x）＞0，得，-1＜x＜-

1

2

，或x＞1．
由f′（x）＜0，得-

1

2

＜x＜0，或0＜x＜1．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，-

1

2

）和（1，+∞），
f（x）的減區(qū)間為（-

1

2

，0）和（0，1）．

x	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ，0）	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	↓	極小值	↑

∴極大值f（-

1

2

）=-2-2ln2，極小值f（1）=-1+2ln2．
（II）若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
即

ax2-x-1

x2(x+1)

≥0，變形，得a≥

x+1

x2

；
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，

x+1

x2

=

1

x

+

1

x2

≤

3

4

，
∴a≥

3

4

．
若f（x）為減函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）≤0恒成立，
即

ax2-x-1

x2(x+1)

≤0，變形得a≤

x+1

x2

，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，

x+1

x2

=

1

x

+

1

x2

≥

5

16

，∴a≤

5

16

，
綜上所述：a≥

3

4

或a≤

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，考查實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．