Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線E的左，右焦點，點M在E的漸近線上，△F₁F₂M為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意求得M點坐標，代入漸近線方程，求得a與b的關系，利用雙曲線的離心率公式即可求得E的離心率．

解答 解：設雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），設M在第一象限，
則過M做MD⊥F₁F₂，
由△F₁F₂M為等腰三角形，且頂角為120°，則∠MF₂D=60°，
丨MF₂丨=丨F₁F₂丨=2c，
∴丨MD丨=$\sqrt{3}$c，丨F₂D丨=c，
∴M點坐標為（2c，$\sqrt{3}$c），
由M雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程，考查計算能力，屬于中檔題．