已知奇函數(shù)y=f(x),在(0,+∞)上滿(mǎn)足2f(x+1)=f(x),且當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=3x,則不等式f(x)≥x的解集為
 
考點(diǎn):函數(shù)的圖象,抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:在(0,+∞)上滿(mǎn)足2f(x+1)=f(x),故f(x)=
1
2
f(x-1)
,由此推出f(0)=f(1)=f(2)=0,同理f(3)=0等等,
當(dāng)1<x<2時(shí),易推f(x)=
1
2
×3x-1,以此類(lèi)推,可得x在(0,+∞)上的其它區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式,
在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)在(0,+∞)上的圖象,再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),畫(huà)出函數(shù)在(0,+∞)上的圖象,結(jié)合圖象得出不等式的解.
解答: 解:在(0,+∞)上滿(mǎn)足2f(x+1)=f(x),∴f(x)=
1
2
f(x-1)
,
∵f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,∴f(1)=
1
2
f(0)=0,f(2)=
1
2
f(1)=0,同理f(3)=0等等,
而當(dāng)1<x<2時(shí),f(x)=
1
2
f(x-1),而0<x-1<1,
∵當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=3x,∴f(x)=
1
2
f(x-1)=
1
2
×3x-1
∴當(dāng)1<x<2時(shí),f(x)=
1
2
×3x-1,以此類(lèi)推,可得x在(0,+∞)上的其它區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式,
在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)在(0,+∞)上的圖象,再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),畫(huà)出函數(shù)在(0,+∞)上的圖象,如下圖:

從圖象知:
要使不等式f(x)≥x成立,x應(yīng)滿(mǎn)足:x∈(-∞,-1]∪[0,1),
故答案為:(-∞,-1]∪[0,1)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的性質(zhì),由函數(shù)的奇偶性得出整個(gè)圖象,數(shù)形結(jié)合得出自變量的范圍,要注意函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

經(jīng)過(guò)對(duì)某市空氣質(zhì)量指數(shù)進(jìn)行一個(gè)月(30天)監(jiān)測(cè),獲得數(shù)據(jù)后得到條形圖統(tǒng)計(jì)圖:
空氣質(zhì)量指數(shù)0~3535~7575~115115~150150~250≥250
空氣質(zhì)量類(lèi)別優(yōu)輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
(Ⅰ)估計(jì)某市一個(gè)月內(nèi)空氣受到污染的概率(規(guī)定:空氣質(zhì)量指數(shù)大于或等于75,空氣受到污染); 
(Ⅱ)在空氣質(zhì)量類(lèi)別為“良”、“輕度污染”的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中用分層抽樣方法抽取一個(gè)容量為5的樣本,若在這5數(shù)據(jù)中任取2個(gè)數(shù)據(jù),求這2個(gè)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量類(lèi)別不都是輕度污染的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
25
+
y2
9
=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,P為橢圓C上的一點(diǎn),且PF1⊥PF2,則△PF1F2的面積為( 。
A、6B、10C、9D、7

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a,b∈R+且a≠b,x=
a
+
b
2
,y=
a+b,
則x,y的大小關(guān)系是(  )
A、x<yB、x>y
C、x=yD、視a,b的值而定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

曲線(xiàn)y=3-x2(x>0)上與定點(diǎn)P(0,2)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.78]=0,[3.01]=3,如果定義數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=[
n
5
](n∈N*),則x1+x2+…+x5n=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

用0,1,2,3四個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有( 。﹤(gè).
A、4B、8C、24D、64

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若對(duì)于滿(mǎn)足不等式組
x≤0
y≥0
x-y+2≥0
的任意實(shí)數(shù)x,y,都有x+y≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(-∞,-2]
B、(-∞,0]
C、(-∞,2]
D、[-2,2]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在(-5,5)上的函數(shù)f(x)是增函數(shù),則滿(mǎn)足f(x)<f(2x-3)的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案