Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為2 π，最小值為-2，且當(dāng)x=

5π

6

時，函數(shù)取得最大值4．
（I）求函數(shù) f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若當(dāng)x∈[

π

6

，

7π

6

]時，方程f（x）=m+1有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）由最小正周期可求ω，又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

，由題意，

5π

6

+φ=2kπ+

k

2

（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可解得φ，即可求得函數(shù) f（x）的解析式；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化為m=3sin（x-

π

3

），由x∈[

π

6

，

7π

6

]，由正弦函數(shù)圖象可解得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（I）因為f（x）的最小正周期為2π，
得ω=

2π

2π

=1，…1分
又

B+A=4 B-A=-2

，解得

A=3 B=1

，…3分
由題意，

5π

6

+φ=2kπ+

k

2

（k∈Z），
即φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），因為|φ|＜

π

2

，
所以，φ=-

π

3

，…5分
所以f（x）=3sin（x-

π

3

）+1…6分
（Ⅱ）當(dāng)2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
即x∈[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]（k∈Z）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增…9分
（Ⅲ）方程f（x）=m+1可化為m=3sin（x-

π

3

）…10分
因為x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以x-

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…11分
由正弦函數(shù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是[-

3

2

，3]…13分

點評：本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．