Question

8．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{1}{{{{（a_n^{\;}+1）}^2}-1}}（n∈{N^*}）$，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：${S_n}＜\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，又a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₄，∴（2+d）²=2（2+3d），化為：d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$$＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．