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某隧道長2150米,通過隧道的車速不能超過20米/秒.一個由55輛車身都為10米的同一車型組成的運輸車隊勻速通過該隧道.設車隊的速度為x米/秒,根據安全和車流的需要,相鄰兩車均保持數學公式米的距離,其中a為常數且數學公式,自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間為y(秒).
(1)將y表示為x的函數;
(2)求車隊通過隧道所用時間取最小值時車隊的速度.

解:(1)依題意,自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間y等于隧道長加車長加車的間隙長,除以火車的速度x米/秒,
即 y=
= (0<x≤20,≤a≤1)
(2)令,得x=,又由=20,得a=
∴①當≤a≤1時,≤20
由均值定理知當且僅當x=時,y=≥2+18=180+18
即當x=時,ymin=180+18
②當≤a<時,>20
∵y′=-+9a<0,(0<x≤20)
∴函數y=在(0,20]上是減函數,
∴當x=20時,ymin=+180a+18=153+180a
答:若≤a<,則當車隊速度為20m/s時,通過隧道所用時間最少;若≤a≤1,則當車隊速度為m/s時,通過隧道所用時間最少
分析:(1)自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間y等于隧道長加車長加車的間隙長,除以火車的速度x米/秒,依題意列出函數解析式并化簡即可
(2)由函數y=的性質,當x=時,函數取得最小值,但由于定義域為(0,20],故需要比較x=與定義域的位置關系,分≤a≤1,≤a<兩種情況討論函數的最小值及取最小值時函數自變量的取值
點評:本題考查了將應用問題轉化為數學問題的能力,求函數解析式的方法,利用函數性質求函數最值的方法,分類討論的思想方法
練習冊系列答案
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(2010•衡陽模擬)某隧道長2150米,通過隧道的車速不能超過20米/秒.一個由55輛車身都為10米的同一車型組成的運輸車隊勻速通過該隧道.設車隊的速度為x米/秒,根據安全和車流的需要,相鄰兩車均保持(
a
6
x2+
1
3
x)
米的距離,其中a為常數且
1
2
≤a≤1
,自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間為y(秒).
(1)將y表示為x的函數;
(2)求車隊通過隧道所用時間取最小值時車隊的速度.

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(本小題滿分12分)某隧道長2150米,通過隧道的車速不能超過20米/秒.一個由55輛車身都為10米的同一車型組成的運輸車隊勻速通過該隧道.設車隊的速度為x米/秒,根據安全和車流的需要,相鄰兩車均保持米的距離,其中a為常數且,自第一輛車車頭進入隧道至第55輛車車尾離開隧道所用時間為y(秒) .(1)將y表示為x的函數;(2)求車隊通過隧道所用時間取最小值時車隊的速度.

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