Question

已知α、β為銳角，向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（，-）．
（1）若•=，•=，求角2β-α的值；
（2）若=+，求tanα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由•=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=，可得•=（cosα，sinα）•（，-）=cosα-sinα=，α、β為銳角，可得α與β的值，從而即可求角2β-α的值．
（2）由=+可得，③²+④²得cosα-sinα=，可得2sinαcosα=．又2sinαcosα=
==，可得3tan²α-8tanα+3=0，又α為銳角，即可求出tanα的值．
解答：解：（1）∵•=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ），
=cosαcosβ+sinαsinβ
=cos（α-β）=，①
•=（cosα，sinα）•（，-），
=cosα-sinα=，②
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴-＜α-β＜．
由①得α-β=±，由②得α=．
由α、β為銳角，∴β=．
從而2β-α=π．
（2）由=+可得，
③²+④²得cosα-sinα=，∴2sinαcosα=．
又∵2sinαcosα=
==，
∴3tan²α-8tanα+3=0．
因?yàn)閏osα-sinα＞0 所以cosα＞sinα又因?yàn)棣翞殇J角，所以tanα＜1，
又∵α為銳角，∴tanα＞0，
∴tanα=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角函數(shù)和與差的運(yùn)算及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，難度一般，關(guān)鍵是掌握兩角和與差的余弦函數(shù)公式．