Question

17．已知復數(shù)z=（a-2）+ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則$\int_{\;0}^{\;a}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx的為（　　）

• A． 2+π
• B． 2+$\frac{π}{2}$
• C． 4+2π
• D． 4+4π

Answer 1

分析 由復數(shù)定義易得a=2，${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx，由定積分的幾何意義以及定積分的計算法則計算可得

解答 解：∵復數(shù)z=（a-2）+ai（a∈R，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，∴a=2，
∴${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx+${∫}_{0}^{2}$xdx，
由定積分的幾何意義可知${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x^2}}}$dx表示圓x²+y²=4面積的四分之一，為π，
∴${∫}_{0}^{2}$（$\sqrt{4-{x^2}}}$+x）dx=π+$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{0}^{2}$=π+2
故選：A．

點評 本題考查復數(shù)的基本概念和定積分的求解，屬中檔題．