Question

已知，函數(shù)。

（I）記求的表達(dá)式；

（II）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II）

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

若，則在上單調(diào)遞減，；

若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所訴，；

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故不滿足要求；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 若存在，使曲線在、兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則，且，即，亦即*；由得，故*成立等價(jià)于集合與集合的交集非空；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081712592660671435/SYS201308171300487333304637_DA.files/image035.png">，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，綜上所訴a的取值范圍是