Question

如圖①邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，將△BEF剪去，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點P得一三棱錐如圖②示．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求三棱錐P-DEF的體積；
（3）求DE與平面PDF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明PD⊥EF，只需證明PD⊥平面PEF，利用線面垂直的判定定理可以證明；
（2）解法1：證明PE⊥PF，利用等體積轉化，即可求得三棱錐P-DEF的體積；
解法2：取EF的中點M，連接PM，證明PM⊥EF，利用等體積轉化，即可求得三棱錐P-DEF的體積；
（3）證明PE⊥平面PDF，可得∠PDE為DE與平面PDF所成的角，在Rt△PDE中，可以求得．
解答：（1）證明：依題意知圖①折前AD⊥AE，CD⊥CF，
∴PD⊥PE，PF⊥PD，-------------------------------（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF-----------------------（3分）
又∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF--------------------------（4分）
（2）解法1：依題意知圖①中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，----（5分）
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，∴PE⊥PF
∴--------------------（7分）
∴=．-----------（8分）
解法2：依題意知圖①中AE=CF=，∴PE=PF=，
在△BEF中，----------------------------------（5分）
取EF的中點M，連接PM，則PM⊥EF，∴---------------（6分）
∴---------------（7分）
∴=．-----------------------（8分）】
（3）解：由（2）知PE⊥PF，又PE⊥PD，∴PE⊥平面PDF-------（10分）
∴∠PDE為DE與平面PDF所成的角，-------------------------------------------（11分）
在Rt△PDE中，∵，-----------------------（12分）
∴-----------------------------------（14分）
點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查三棱錐的體積，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，利用轉化底面，求三棱錐的體積．