Question

在△ABC中，已知∠B=

π

3

．
（1）若b=

13

，a=3．求c；
（2）設(shè)t=sinAsinC，求t的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由正弦定理可求得sinA=

3 39

26

，由b=

13

＞a=3，可得A為銳角，即可求得cosA，由余弦定理可得

5 13

26

=

13+c2-9

2 13 c

，從而整理解得c的值．
（2）因?yàn)锳+C=

2π

3

，利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)t的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得t的最大值．

解答： 解：（1）由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，故：

3

sinA

=

13

sin π 3

，
可求得：sinA=

3× 3 2

13

=

3 39

26

，
∵b=

13

＞a=3，
∴A為銳角，cosA=

1-sin2A

=

5 13

26

，
∴由余弦定理可得：cosA=

5 13

26

=

b2+c2-a2

2bc

=

13+c2-9

2 13 c

，從而整理有：c²-5c+4=0，
∴可解得：c=4．
（2）因?yàn)锳+C=

2π

3

，所以，t=sinAsin（

2π

3

-A）=sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA），
=

3

4

sin2A+

1

2

（

1-cos2A

2

）=

1

4

+

1

2

sin（2A-

π

6

），
因?yàn)?＜A＜

2π

3

，所以，-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
所以當(dāng)2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時(shí)，t有最大值

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．