Question

19．在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且b²+c²-a²=bc，且∠BDC=135°，AC=2$\sqrt{3}$，DB=3．
（1）求∠A的大��；
（2）求 BC．

Answer 1

分析 （1）由已知結合余弦定理可求$cosA=\frac{1}{2}$，結合A的范圍即可得解A的值．
（2）由已知可求∠CDA=45°，利用正弦定理可求CD的值，進而利用余弦定理可得BC的值．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=bc，
又∵由余弦定理：b²+c²-a²=2bccosA，
∴于是2bccosA=bc，
∴得$cosA=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵∠BDC=135°，可得：∠CDA=45°，
∴由正弦定理$\frac{AC}{sin∠CDA}=\frac{CD}{sinA}$，可得：CD=$\frac{ACsinA}{sin∠CDA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}-2CD•BD•cos∠CDB}$=3$\sqrt{5}$．
∴$BC=3\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．