Question

15．對任意的正整數(shù)n，2ⁿ與n²的大小關(guān)系為（　�。�

• A． 當(dāng)n＞2時，22ⁿ＞n²
• B． 當(dāng)n＞3時，2ⁿ＞n²
• C． 當(dāng)n＞4時，2ⁿ＞n²
• D． 當(dāng)n＞5時，2ⁿ＞n²

Answer 1

分析 從n=1開始逐個驗證，得出一般規(guī)律，猜想當(dāng)n≥5時，n²＜2ⁿ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：當(dāng)n=1時，n²＜2ⁿ；           
當(dāng)n=2時，n²=2ⁿ；               
當(dāng)n=3時，n²＞2ⁿ；             
當(dāng)n=4時，n²=2ⁿ；            
當(dāng)n=5時，n²＜2ⁿ； 當(dāng)n=6時，n²＜2ⁿ；
猜想：當(dāng)n≥5時，n²＜2ⁿ
下面下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=5時，由上面的探求可知猜想成立  
（2）假設(shè)n=k（k≥5）時猜想成立，即2^k＞k²
則2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
當(dāng)k≥5時（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²
從而2^k+1＞（k+1）²
所以當(dāng)n=k+1時，猜想也成立     
綜合（1）（2），對n∈N^*猜想都成立，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的步驟是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．