Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．問(wèn)在圓C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=kx-1對(duì)稱，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程求出直線的斜率，推出AB的斜率，設(shè)出AB的方程，聯(lián)立AB與圓的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

解答：解：圓C：x²+y²-2x+4y-4=0的圓心坐標(biāo)（1，-2），
因?yàn)樵趦牲c(diǎn)A、B關(guān)于直線y=kx-1對(duì)稱，所以直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，
所以-2=k-1，k=-1．直線AB的斜率為：1；
設(shè)直線AB的方程為x-y+b=0；對(duì)稱軸方程為：x+y-1=0，

x-y+b=0 x2+y2-2x+4y-4=0

可得2x²+2（b+2）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-2．
以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
x₁x₂+y₁y₂=0，2×

b2+4b-4

2

+b²+b（-b-2）=0，解得b=±

5

-1
所以所求直線AB的方程為x-y-

5

-1=0或x-y+

5

+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．