Question

13．從某地區(qū)一次中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的成績(jī)，繪成如圖所示的2×2列聯(lián)表：

	優(yōu)秀	一般	合計(jì)
男生	7	6
女生	5	12
合計(jì)

（1）試問(wèn)有沒(méi)有90%的把握認(rèn)為優(yōu)秀一般與性別有關(guān)；
（2）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)抽取3人，用ξ表示所選3人中優(yōu)秀的人數(shù)，試寫(xiě)出ξ的分布列，并求出ξ的數(shù)學(xué)期望，.${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，根據(jù)觀測(cè)值K²，對(duì)照數(shù)表得出結(jié)論；
（2）求出抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率值，得出ξ服從二項(xiàng)分布B（3，$\frac{2}{5}$）；
計(jì)算對(duì)應(yīng)概率值，寫(xiě)出ξ的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，如下：

	甲組	乙組	合計(jì)
男生	7	6	13
女生	5	12	17
合計(jì)	12	18	30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式得K²=$\frac{{30×（7×12-6×5）}^{2}}{13×17×12×18}$≈1.83，
因?yàn)?.83＜2.706，故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為成績(jī)分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（2））由題知，抽取的30名學(xué)生中有12名學(xué)生是甲組學(xué)生，
抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，
那么從所有的中學(xué)生中抽取1名學(xué)生是甲組學(xué)生的概率是$\frac{2}{5}$，
又因?yàn)樗�取總體數(shù)量較多，抽取3名學(xué)生可以看出3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，
于是ξ服從二項(xiàng)分布B（3，$\frac{2}{5}$）；
顯然ξ的取值為0，1，2，3；
且P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{2}{5}）}^{k}$•${（1-\frac{2}{5}）}^{3-k}$，k=0，1，2，3；
所以得ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

數(shù)學(xué)期望Eξ=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．