Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（a為參數(shù)）；若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，（m為常數(shù)）
（1）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C₁和曲線C₂有公共點(diǎn)，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（α為參數(shù)），由x=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），兩邊平方化簡即可得出．曲線C₂的極坐標(biāo)方程為；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，可得ρ$（2×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ）$+2ρsinθ=m，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把y=m-$\sqrt{3}$x代入拋物線方程可得：x²-2$\sqrt{3}$x+2m-3=0．由于曲線C₁和曲線C₂有公共點(diǎn)，可得△≥0，解得m范圍即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）\\ y=sin2α+1\end{array}\right.$（α為參數(shù)），由x=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα），兩邊平方可得：x²=1-2sinαcosα=1-2（y-1），∴x²=3-2y．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為；$ρ=\frac{m}{{2cos（θ+\frac{π}{6}）+2sinθ}}$，∴ρ$（2×\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ-2×\frac{1}{2}×sinθ）$+2ρsinθ=m，化為直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$x+y-m=0．
（2）把y=m-$\sqrt{3}$x代入x²=3-2y，可得：x²-2$\sqrt{3}$x+2m-3=0．
∵曲線C₁和曲線C₂有公共點(diǎn)，∴△=12-4（2m-3）≥0，解得：m≤3，
∴m的取值范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．