Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x+ln（x+1）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，f（x）≥ax+1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意f（0）=1，$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1，則$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$，令$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，則$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=e⁰+ln（0+1）=1，
$f'（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，$f'（0）={e^0}+\frac{1}{0+1}=2$
∴y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y-1=2（x-0），即y=2x+1．…（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1，
則$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a$
令$h（x）={e^x}+\frac{1}{x+1}$，則$h'（x）={e^x}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
當(dāng)x≥0時，e^x＞1，$0＜\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}≤1$，∴h'（x）＞0，
∴函數(shù)y=h（x）（x≥0）為增函數(shù)，∴h（x）≥h（0）=2，∴g'（x）≥2-a
ī）當(dāng)a≤2時，2-a≥0，∴當(dāng)a≤2時，g'（x）≥0
∴函數(shù)y=g（x）（x≥0）為增函數(shù)，∴g（x）≥g（0）=0
故對?x≥0，f（x）≥ax+1成立．
īī）當(dāng)a＞2時，a-1＞1，由x≥0時$0＜\frac{1}{x+1}≤1$$g'（x）=f'（x）-a={e^x}+\frac{1}{x+1}-a＜{e^x}+1-a$，
當(dāng)x∈（0，ln（a-1））知e^x+1-a＜0，即g'（x）＜0，
∴函數(shù)y=g（x），x∈（0，ln（a-1））為減函數(shù)，
∴當(dāng)0＜x＜ln（a-1）時，g（x）＜g（0）=0
從而f（x）＜ax+1這與題意不符，
綜上，對?x≥0，f（x）≥ax+1成立時，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．…（12分）

點評 本題考查切線方程的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運用．