已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x2+4x．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）畫出函數(shù)的大致圖象，并求出函數(shù)的值域；
（3）若k∈R，試討論方程f（x）=k實數(shù)解的個數(shù)．

解：（1）設(shè)x＞0，可得-x＜0，∵當x≤0時，f（x）=x2+4x，
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）=x2-4x，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（-x）=x2-4x，
∴…

（2）圖象如圖
如上圖可知：f（x）的值域為：值域為f（x）∈[-4，+∞）…
（3）方程f（x）=k實數(shù)解，令y=k與f（x）有交點，
利用上圖可知：當k∈（-∞，-4）時，方程無解；
當k∈（0，+∞）或k=-4時，方程有兩解；
當k=0時，方程有三解；
當k∈（-4，0）時，方程有四解； …
分析：（1）利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，及x≤0時，f（x）=x2+4x，可以設(shè)x＞0，可得-x＜0，代入上式即可求解；
（2）利用函數(shù)的解析式，利用描點法畫出函數(shù)的圖象，利用圖象求出其值域；
（3）方程f（x）=k，方程有解的問題利用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解；
點評：此題主要考查偶函數(shù)的性質(zhì)及其解析式的求法，利用數(shù)形結(jié)合的方法求方程解的個數(shù)，是一道基礎(chǔ)題；
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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