Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數，a∈R．
（1）討論a=1時，f（x）的單調性、極值；
（2）設g（x）=x²-x+3b²-2b．當a=1時，若對任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求b的取值范圍；
（3）是否存在實數a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）可求，利用導數與函數單調性、極值關系可求答案；
（2）任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x₁）_min≥g（x₂）_min． 從而轉化為求函數最值問題解決；
（3）先假設存在這樣的a值，然后求函數f（x）的最小值，令最小值為3，解出即可；

解答：解：（1）當a=1時f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
所以當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減；當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增．
所以f（x）的極小值為f（1）=1．                       
（2）若對任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），等價于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．                                     
由（1）知當x₁∈（0，e]時，f（x₁）有極小值為1，即當x₁∈（0，e]時，f（x₁）_min=1，
因為g（x）=x²-x+3b²-2b的對稱軸為x=

1

2

，
所以g（x）=x²-x+3b²-2b在x₂∈[1，2]上單調遞增，其最小值為g（1）=3b²-2b，
所以有3b²-2b≤1，解得-

1

3

≤b≤1．             
故b的取值范圍為[-

1

3

，1]．                      
（3）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），所以，此時f（x）無最小值．
②當0＜

1

a

＜e時，f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，e]上單調遞增，f(x)min=f(

1

a

)=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當

1

a

≥e時，f（x）在（0，e]上單調遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
所以，此時f（x）無最小值．
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時f（x）有最小值3．

點評：本題考查應用導數研究函數的單調性、極值和最值問題，考查分析問題解決問題的能力，本題中滲透了分類討論思想及轉化思想，對于恒成立問題往往轉化為最值問題解決．