Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁＞0，公比q＞0，前n項和為S_n．
（Ⅰ）試比較

S3

a3

與

S5

a5

的大小；
（Ⅱ）設{a_n}滿足：lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan

n

=n(n∈N*)，數(shù)列{b_n}滿足：bn=

1

n

(lga1+lga2+…+lgan+lgk)，求數(shù)列{a_n}的通項公式和使數(shù)列{b_n}成等差數(shù)列的正數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對公比q的值進行分類討論：①當q=1時，

S3

a3

=3，

S5

a5

=5，②當q＞0且q≠1時，結合作差法比較大小即可得到：

S3

a3

＜

S5

a5

；
（Ⅱ）先就n的值討論：當n=1時；當n≥2時，兩式相減，從而求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再計算出數(shù)列{b_n}的通項公式，要使{b_n}成等差數(shù)列，bn+1-bn=

1

2

+(

1

n+1

-

1

n

)lgk為常數(shù)從而求出k值．

解答：解：（Ⅰ）①當q=1時，

S3

a3

=3，

S5

a5

=5，
∴

S3

a3

＜

S5

a5

．
②當q＞0且q≠1時，

S3

a3

-

S5

a5

=

q2(1-q3)-(1-q5)

q4(1-q)

=

-1-q

q4

＜0，
此時也有

S3

a3

＜

S5

a5

．
 綜上可知：

S3

a3

＜

S5

a5

．                             …（4分）
（Ⅱ）當n=1時，lga₁=1⇒a₁=10.lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan

n

=n，①
∴當n≥2時，lga1+

lga2

2

+

lga3

3

+…+

lgan-1

n-1

=n-1，②
將①-②得：

lgan

n

=1，
∴l(xiāng)ga_n=n，∴a_n=10ⁿ．
綜上可知：對n∈N^*，a_n=10ⁿ．                 …（8分）
∴bn=

1

n

lgk(a1a2…an)=

1

n

lgk(10•102…10n)=

1

n

lg[k•10

n(n+1)

2

]=

1

n

lgk+

n+1

2

．
要使{b_n}成等差數(shù)列，則bn+1-bn=

1

2

+(

1

n+1

-

1

n

)lgk為常數(shù)，…（10分）
故只須lgk=0，即k=1．                      …（12分）

點評：本小題主要考查等差關系的確定、數(shù)列的求和、數(shù)列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．