如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．

(1)求MN的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。�

(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的余弦值．

答案：
解析：

　　(1)過(guò)M作MG⊥AB，連結(jié)GN，則MG＝AM·sin45°＝(－a)＝1－a＝AG．

　　∴BG＝1－AG＝a．在△BGN中，由余弦定理，得GN＝a，又∵面ABCD⊥面ABEF，

　　∴MG⊥面ABEF，∴MG⊥GN．∴MN＝＝

　�。�．(0＜a＜)

　　(2)由(1)知MN＝，所以當(dāng)a＝時(shí)，MN＝，即M、N分別移動(dòng)到AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為．

　　(3)取MN的中點(diǎn)H，連結(jié)AH、BH，∵AM＝AN，BM＝BN．∴AH⊥MN，BH⊥MN．

　　∠AHB即為二面角α的平面角，又AH＝BH＝，所以，由余弦定理，得

　　cosα＝＝－．故所求二面角的余弦值為－．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，對(duì)于下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結(jié)論的序號(hào)為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜
2
），則MN的長(zhǎng)的最小值為 （　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（I）求證：AB⊥平面ADE；
（II）（理）在線段BE上存在點(diǎn)M，使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為
6
3
，試確定點(diǎn)M的位置．
（文）若AD=2，求四棱錐E-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•溫州二模）如圖，正方形ABCD與正方形CDEF所成的二面角為60°，則直線EC與直線AD所成的角的余弦值為
2
4
2
4
．

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