Question

15．如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3，O₁為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑；
（1）計算球O的表面積和體積；
（2）若C是截面小圓上一點，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO₁和OO₁的中點，求
異面直線AC與MN所成的角；（結果用反三角表示）

Answer 1

分析 （1）求出小圓的半徑，然后利用球心到該截面的距離為3cm，小圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．
（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角），連接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．

解答 解：（1）連接OA，由題意得，截面小圓半徑為4，（2分）
在Rt△OAO₁中，O₁A=4，OO₁=3，
由勾股定理知，AO=5，（4分）
∴球O的表面積為：4π•25=100π（7分）
（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補角）．（9分）
在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，則AC=4，（10分）
連接OC，在△OAC中，OA=OC=5，
由余弦定理知：
cos∠OAC=$\frac{A{C}^{2}+O{A}^{2}-O{C}^{2}}{2OA•AC}$=$\frac{{4}^{2}+{5}^{2}-{5}^{2}}{2×4×5}$=$\frac{2}{5}$，
∴∠OAC=$arccos\frac{2}{5}$，
∴異面直線AC與MN所成的角為$arccos\frac{2}{5}$．

點評 本題主要考查了球的表面積，以及異面直線及其所成角和余弦定理的應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．