Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x）-b有且只有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（0，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的圖象和直線y=b有2個(gè)交點(diǎn)，分類討論，數(shù)形結(jié)合求得a的取值范圍．

解答 解：由題意可得函數(shù)y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的圖象和直線y=b有且只有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)a=0 時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{0，x＜a}\end{array}\right.$，如圖（1）所示，函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=b之多有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的圖象如圖（2）所示，此時(shí)，應(yīng)有b＞0．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≥a}\\{a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$的圖象如圖（3）所示，此時(shí)，
函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=b之多有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．綜上可得，b＞0，
故答案為：（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．