Question

14．已知函數(shù)f（x）=mlnx+x²+mx（m∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象所有點都在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）證明：對任意的實數(shù)m，存在x₀∈（1，e），使f′（x₀）=$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）討論m=0，m＞0，m＜0，運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，即可得到m的范圍；
（2）設(shè)函數(shù)H（x），計算H（1），H（e），討論m的范圍，由零點存在定理，即可得證；當(dāng)$\frac{{（e-1）}^{2}}{e-2}$≤m≤e（e-1）²時，求出H（x）的最小值，判斷它小于0，再由零點存在定理，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=x²+mx+mlnx，f（x）的定義域為（0，+∞）．
①m=0時，f（x）=x²，
∵x＞0，
∴點（x，x²）在第一象限．
②m＞0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時，lnx∈（-∞，0）
∴mlnx∈（-∞，0）
∴f（x）的圖象無法全部在第一象限．
③m＜0時，由f（x）=x²+m（x+lnx）＞0得$\frac{1}{m}$＜-（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$lnx）
設(shè)h（x）=-（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$lnx），h′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{3}}$+$\frac{2lnx}{{x}^{3}}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	遞減	極小值	遞增

則h（x）≥h（1）=-1，從而$\frac{1}{m}$＜-（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$lnx）＜-1，-1＜m＜0，
綜上所述，常數(shù)m是取值范圍-1＜m≤0；
（2）證明：直接計算知 $\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$=e+1+m+$\frac{m}{e-1}$，
設(shè)函數(shù)H（x）=f′（x）-$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$=2x-（e+1）+$\frac{m}{x}$-$\frac{m}{e-1}$．
H（1）=1-e+m-$\frac{m}{e-1}$=$\frac{m（e-2）{-（e-1）}^{2}}{e-1}$，
H（e）=e-1+$\frac{m}{e}$-$\frac{m}{e-1}$=$\frac{{e（e-1）}^{2}-m}{e（e-1）}$，
當(dāng)m＞e（e-1）²或m＜$\frac{{（e-1）}^{2}}{e-2}$時
H（1）H（e）=-$\frac{[m（e-2）{-（e-1）}^{2}][m-{e（e-1）}^{2}]}{{e（e-1）}^{2}}$＜0
∵y=H（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．
∴存在x₀∈（1，e），使H（X）=0，
即x₀∈（1，e），使f′（x₀）=$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$，
當(dāng) $\frac{{（e-1）}^{2}}{e-1}$≤m≤e（e-1）²時，H（1）•H（e）≥0，而且H（1）、H（e）之中至少一個為正，
由均值不等式知H（x）≥2$\sqrt{2m}$-$\frac{m{+e}^{2}-1}{e-1}$，
等號當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$∈（1，e）時成立
∴H（x）有最小值n=2$\sqrt{2m}$-$\frac{m{+e}^{2}-1}{e-1}$=$\frac{-m+2（e-1）\sqrt{2m}-{（e}^{2}-1）}{e-1}$，
且n=$\frac{-m+2（e-1）\sqrt{2m}-{（e}^{2}-1）}{e-1}$=$\frac{-[\sqrt{m}-{\sqrt{2}（e-1）}^{2}+（e-1）（e-3）}{e-1}$＜0
此時存在x₀∈（1，e）（x₀∈（1，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）或x₀∈（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，e）），使H（x₀）=0
綜上所述，對任意的實數(shù)m，存在x₀∈（1，e），使得f′（x₀）=$\frac{f（e）-f（1）}{e-1}$．

點評 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求極值、最值等內(nèi)容．還有應(yīng)用零點存在定理．較難．