Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的點M與橢圓右焦點F₁的連線MF₁與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）F₂是橢圓的左焦點，C是橢圓上的任一點，證明：∠F₁CF₂≤

π

2

；
（3）過F₁且與AB垂直的直線交橢圓于P、Q，若△PF₂Q的面積是20

3

，求此時橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可表示出M的坐標，進而表示出直線OM的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的關系進而求得a和c的關系，則離心率可得．
（2）利用橢圓的定義可表示出|F₁C|+|F₂C|，進而利用余弦定理表示出cos∠F₁CF₂，利用基本不等式可知|F1C||F2C|≤(

|F1C|+|F2C|

2

)2求得cos∠F₁CF₂的范圍進而求得∠F₁CF₂的范圍．
（3）設出直線PQ的方程，代入橢圓方程消去x整理后利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，進而求得|y₁-y₂|代入三角形面積公式求得求得c，進而可分別求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）易得M(c，

b2

a

)，kOM=

b2

ac

，kAB=

b

a

，∴

b2

ac

=

b

a

?b=c?a=

2

c，∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）證明：由橢圓定義得：|F1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2=

|F1C|2+|F2C|2-|F1F2|2

2|F1C||F2C|

=

4a2-4c2-2|F1C||F2C|

2|F1C||F2C|

=

2b2

|F1C||F2C|

-1．|F1C||F2C|≤(

|F1C|+|F2C|

2

)2=a2，
∴cos∠F1CF2≥

2b2

a2

-1=

2c2

2c2

-1=0，∴∠F1CF2≤

π

2

．
（3）解：設直線PQ的方程為y=-

a

b

（x-c），即y=-

2

(x-c)．
代入橢圓方程消去x得：

(1- 1 2 y+c)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：5y2-2

2

cy-2c2=0，∴y1+y2=

2 2 c

5

，y1•y2=-

2c2

5

．
∴(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

．S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，c2=25，
因此a²=50，b²=25，所以橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和計算能力．