Question

（2012•揚(yáng)州模擬）如圖，矩形ABCD所在平面與直角三角形ABE所的平面互相垂直，AE⊥BE，M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)．
求證：
（Ⅰ）MN∥平面BCE；
（Ⅱ）AE⊥MN．

Answer 1

分析：（I）取CE中點(diǎn)的P，連PM、PB，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理，得出四邊形PMNB是平行四邊形，所以MN∥PB，
結(jié)合線面平行的判定定理，得MN∥平面BCE；
（II）由面面垂直的性質(zhì)，得BC⊥平面ABE，從而BC⊥AE，結(jié)合AE⊥BE，得AE⊥平面BCE，所以AE⊥PB，再結(jié)合（I）的結(jié)論MN∥PB，得到AE⊥MN．

解答：解：（Ⅰ）取CE中點(diǎn)的P，連PM、PB，
∵在△CDE中，P，M分別是CE，DE中點(diǎn)知，
∴PM∥CD，且PM=

1

2

CD，
又∵矩形ABCD中，NB∥CD，且NB=

1

2

CD，
∴PM∥NB，且PM=NB，可得四邊形PMNB是平行四邊形，
∴MN∥PB，
∵PB⊆平面BEC，MN?平面BEC，
∴MN∥平面BCE；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE，
∵AE⊥BE，BC、BE為平面BCE內(nèi)的相交直線，
∴AE⊥平面BCE，
∵PB⊆平面BCE，∴AE⊥PB，
∵M(jìn)N∥PB，∴AE⊥MN．

點(diǎn)評：本題給出矩形所在平面與三角形所在平面垂直，求證線面平行和線線垂直，著重考查了空間平行、垂直位置關(guān)系的判定和面面垂直的判定定理等知識，屬于中檔題．