Question

（2012•泉州模擬）如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓Γ：

x2

8

+

y2

4

=1相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線y=

1

4

x2的焦點．
（Ⅰ）試求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l：y=kx+t（k≠0，t≠0）與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出橢圓的離心率，拋物線的焦點坐標，設橢圓C的方程，即可求得橢圓的幾何量，從而可求橢圓C的標準方；
（Ⅱ）解法一：橢圓C與橢圓E是相似橢圓．聯立橢圓C和直線l的方程，利用韋達定理，根據弦AB的中點與弦HK的中點重合，建立方程，從而可得橢圓E的離心率，即可得到結論；
解法二：設橢圓E的方程，根據A，B在橢圓C上，設點的坐標，代入兩式相減并恒等變形得斜率，同理由H，K在橢圓E上，得斜率，利用弦AB的中點與弦HK的中點重合，建立方程，從而可得橢圓E的離心率，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）由題意，橢圓Γ：

x2

8

+

y2

4

=1的離心率為

2

2

，拋物線y=

1

4

x2的焦點為（0，1）．…（2分）
設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意，得：

e= c a = 2 2 b=1 a2=b2+c2

，解得

a= 2 b=1

，
∴橢圓C的標準方程為 

x2

2

+y2=1．…（5分）
（Ⅱ）解法一：橢圓C與橢圓E是相似橢圓．…（6分）
聯立橢圓C和直線l的方程，

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，…（7分）
設A，B的橫坐標分別為x₁，x₂，則x1+x2=-

4kt

1+2k2

．…（8分）
設橢圓E的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，m≠n)，…（9分）
聯立方程組

x2 m2 + y2 n2 =1 y=kx+t

，消去y，得（n²+m²k²）x²+2ktm²x+m²（t²-n²）=0，
設H，K的橫坐標分別為x₃，x₄，則x3+x4=-

2ktm2

n2+m2k2

．…（10分）
∵弦AB的中點與弦HK的中點重合，…（11分）
∴x₁+x₂=x₃+x₄，∴-

4kt

1+2k2

=-

2ktm2

n2+m2k2

，
∵k≠0，t≠0，∴化簡得m²=2n²，…（12分）
求得橢圓E的離心率e=

m2-n2

m

=

n

2 n

=

2

2

，…（13分）
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．
解法二：設橢圓E的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1(m＞0，n＞0，m≠n)，并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），H（x₃，y₃），K（x₄，y₄）．
∵A，B在橢圓C上，
∴

x

2 1

+2

y

2 1

=8且

x

2 2

+2

y

2 2

=8，兩式相減并恒等變形得k=-2×

x1+x2

y1+y2

．…（8分）
由H，K在橢圓E上，仿前述方法可得k=-

m2

n2

x3+x4

y3+y4

．…（11分）
∵弦AB的中點與弦HK的中點重合，∴m²=2n²，…（12分）
求得橢圓E的離心率e=

m2-n2

m

=

n

2 n

=

2

2

，…（13分）
∴橢圓C與橢圓E是相似橢圓．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類整合思想、數形結合思想、化歸轉化思想等．