Question

函數(shù)f（x）=x²-（1+）x+lnx，a∈R．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調性；
（3）g（x）=b²x²-3x+ln2，當a=2，1＜x＜3時，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范圍．

Answer 1

解：f′（x）=
=[x²-（a+）x+1]=（x-a）（x-）
由題設知x＞0
a-=
（1）a=-1時，f′（x）＜0，則f（x）的單減區(qū)間是（0，+∞）
（2）①0＜a＜1時，a-＜0，即0＜a，則f（x）在（0，a）和（，+∞）上單增，在（a，）上單減
②a=1時，a==1，f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）上單增
③a＞1時，a-＞0即0＜＜a，則f（x）在（0，）和（a，+∞）上單增，在（，a）上單減
（3）由（2）知，a=2，1＜x＜3時，
當x=2時f（x）得到最小值為f（2）=
∴1＜x≤3時，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+＞在1＜x＜3時有解
即b²＞3[]有解，
令t=，k（t）=+t，，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在上單增
∴
∴需b²，即b或b
∴b的范圍是（-∞，）∪（，+∞）．
分析：（1）求出f′（x）把a=-1代入到f′（x），令f′（x）＞0時，得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0時，得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）在求單調區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（3）g（x）＞f（x）恒有解，分類參數(shù)可得即b²＞3[]有解，利用換元法和導數(shù)研究函數(shù)k（t）=+t，的最值，即可求得結論．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的能力，理解函數(shù)恒成立取到的條件，考查應用知識分析解決問題的能力和運算能力，分離參數(shù)轉化為求函數(shù)的最值是解題的關鍵，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想方法，屬難題．