Question

17．某公司做了用戶(hù)對(duì)其某產(chǎn)品滿(mǎn)意度的問(wèn)卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了20名用戶(hù)（其中有7名男性用戶(hù)和13名女性用戶(hù)）的評(píng)分，得到如圖所示莖葉圖．對(duì)不低于75的評(píng)分，認(rèn)為用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品滿(mǎn)意，否則，認(rèn)為不滿(mǎn)意．已知對(duì)產(chǎn)品滿(mǎn)意用戶(hù)中男性有4名．
（I）以此“滿(mǎn)意”的頻率作為概率，求在3人中恰有2人滿(mǎn)意的概率；
（Ⅱ）從以上男性用戶(hù)中隨機(jī)抽取2人，女性用戶(hù)中隨機(jī)抽取1人，其中滿(mǎn)意的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率估計(jì)“滿(mǎn)意”的概率為0.3，由此利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式能求出在3人中恰有2人滿(mǎn)意的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由頻率估計(jì)“滿(mǎn)意”的概率為$\frac{6}{20}$=0.3，
∴在3人中恰有2人滿(mǎn)意的概率為${C}_{3}^{2}×0．{3}^{2}×（1-0.3）$=0.189．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{11}{91}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{2}}$•$\frac{{C}_{11}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{46}{91}$，
P（ξ=2）=$1-\frac{11}{91}-\frac{46}{91}-\frac{4}{91}$=$\frac{30}{91}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{13}^{1}}$=$\frac{4}{91}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{11}{91}$	$\frac{46}{91}$	$\frac{30}{91}$	$\frac{4}{91}$

∴Eξ=$1×\frac{46}{91}$+2×$\frac{30}{91}$+3×$\frac{4}{91}$=$\frac{118}{91}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．