Question

如圖是某建筑設計院為海南國際展覽館的主展廳的屋面和水平主梁位于中軸線一側的垂直截面的設計圖，設計師以屋面曲線C和水平主梁L的交噗O為原點，水平主梁所在直線為x軸建立直角坐標系xOy，設計要求如下：屋面曲線C方程為y=

x

（x≥0），水平主梁對屋面曲線的支撐構成正三角形（稱為支梁三角形）：△OP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，△Q_n-1P_nQ_n（n∈N*），其中P₁，P₂，P₃，…P_n在屋面曲線C上，O，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n在水平主梁上，記△OP₁Q₁的邊長為a₁（米），△Q_k-1P_kQ_k的邊長為a_k（米）（k=1，2，…，n，Q₀為坐標原點O），請你解答如下問題：
（Ⅰ）求a₁，a₂的值，并推導a_k關于k的表達式；
（Ⅱ）記△Q_k-1P_kQ_k的面積為b_k，T_n=b₁+b₂+…b_n，△OP_nQ_n的面積為t_n，定義δ _n=

Tn

tn

為防震系數(shù)，若要求防震系數(shù)為0.7，問共需要設計多少個支梁三角形？（參考公式1²+2²+…n²=

n(n+1)(2n+1)

6

）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：計算題,應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意可知P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），從而可得

3

2

a₁=

1 2 a1

；從而求a₁，同理求a₂，記s_k=a₁+a₂+…+a_k；則點Q_k（s_k，0），設P_k+1（x_k+1，y_k+1）；則y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，再由y_k+1=

3

2

a_k+1可得{a_k}為等差數(shù)列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²可得T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；再求t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），從而可得δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，從而解得．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，P₁（

1

2

a₁，

3

2

a₁），
故

3

2

a₁=

1 2 a1

；
解得，a₁=

2

3

；
于是P₂（

2

3

+

1

2

a₂，

3

2

a₂），
則可得

3

2

a₂=

2 3 + 1 2 a2

，
解得，a₂=

4

3

；
記s_k=a₁+a₂+…+a_k；
則點Q_k（s_k，0），P_k+1（x_k+1，y_k+1）；
由題意可得，y²_k+1=x_k+1=

sk+sk+1

2

，
又y_k+1=

3

2

a_k+1，
所以

sk+sk+1

2

=

3

4

a²_k+1，
即s_k+s_k+1=

3

2

a²_k+1，
故s_k-1+s_k=

3

2

a²_k，
故a_k+1+a_k=

3

2

（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k），
又∵a_k+1＞0，a_k＞0，
故a_k+1-a_k=

2

3

（k≥2），又a₂-a₁=

2

3

；
故{a_k}為等差數(shù)列，所以a_k=

2

3

k；
（Ⅱ）由于b_k=S△Qk-1PkQk=

3

4

a²_k=

3

9

k²；
則T_n=

3

9

（1²+2²+…n²）=

3

9

n(n+1)(2n+1)

6

=

3

54

n（n+1）（2n+1）；
又t_n=S△OPnQn=

1

2

s_n•y_n=

1

2

•

2

3

•

n(n+1)

2

•

3

2

a_n=

3

18

n•n（n+1），
所以δ _n=

Tn

tn

=

2n+1

3n

=0.7，
解得，n=10；
故共需要設計10個支梁三角形．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應用，同時考查了函數(shù)與數(shù)列在實際問題中的應用，屬于中檔題．