Question

已知函數(shù)的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象。

（Ⅰ）求函數(shù)與的解析式

（Ⅱ）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個數(shù)，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）求實數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有2013個零點

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）存在（Ⅲ）當(dāng)，時，函數(shù)在內(nèi)恰有個零點

【解析】（Ⅰ）由函數(shù)的周期為，，得

又曲線的一個對稱中心為，

故，得，所以

將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）后可得的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)

（Ⅱ）當(dāng)時，，

所以

問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解

設(shè)，

則

因為，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增

又，

且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)在內(nèi)存在唯一零點，

即存在唯一的滿足題意

（Ⅲ）依題意，，令

當(dāng)，即時，，從而不是方程的解，所以方程等價于關(guān)于的方程，

現(xiàn)研究時方程解的情況

令，

則問題轉(zhuǎn)化為研究直線與曲線在的交點情況

，令，得或

當(dāng)變化時，和變化情況如下表

當(dāng)且趨近于時，趨向于

當(dāng)且趨近于時，趨向于

當(dāng)且趨近于時，趨向于

當(dāng)且趨近于時，趨向于

故當(dāng)時，直線與曲線在內(nèi)有無交點，在內(nèi)有個交點；

當(dāng)時，直線與曲線在內(nèi)有個交點，在內(nèi)無交點；

當(dāng)時，直線與曲線在內(nèi)有個交點，在內(nèi)有個交點

由函數(shù)的周期性，可知當(dāng)時，直線與曲線在內(nèi)總有偶數(shù)個交點，從而不存在正整數(shù)，使得直線與曲線在內(nèi)恰有個交點；當(dāng)時，直線與曲線在內(nèi)有個交點，由周期性，，所以

綜上，當(dāng)，時，函數(shù)在內(nèi)恰有個零點

三角函數(shù)解析式的確定相對而言應(yīng)該比較容易，也就是說即使是20題的第一問往往難度也不會太大，而我們同學(xué)可能因為時間的關(guān)系而丟掉了撿分的機會，所以建議大家可以先試看看此問是否熟悉，再做整體規(guī)劃。三角函數(shù)的圖像變換要千萬注意左右平移只對x而言。而第二問對于是否等比的轉(zhuǎn)化是處理的關(guān)鍵，所以函數(shù)思想無處不在，要善于運用。第三問從特殊到一般的思想是此問的靈魂，而此法的選擇也因為參數(shù)分離后三角函數(shù)的周期性，所以萬物皆有聯(lián)系，只是平時要練就一雙慧眼就不簡單了。

【考點定位】 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、恒等變換、圖像以及函數(shù)的零點。將函數(shù)的所有性質(zhì)依托于三角函數(shù)展示，并且對多方面能力的綜合考查。屬于難題，但第一問是送給學(xué)生的。