Question

18．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*）．
（1）證明：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），變形為a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，即可證明．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），
∴a_n-1=2（a_n-1-1）+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{{2}^{n-1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，首項為2，公差為1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．