Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²+bx存在極小值，且對于b的所有可能取值，f（x）的極小值恒大于0，則a的最小值為-e³．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在極小值等價為f′（x）=$\frac{a}{x}$-x+b=0有解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與判別式△之間的關系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
則函數(shù)的導數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$-x+b，
若函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{1}{2}$x²+bx存在極小值，
則f′（x）=$\frac{a}{x}$-x+b=0有解，
即-x²+bx+a=0有兩個不等的正根，
則 $\left\{\begin{array}{l}{△{=b}^{2}+4a＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=b＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=-a＞0}\end{array}\right.$，得b＞2$\sqrt{-a}$，（a＜0），
由f′（x）=0得x₁=$\frac{b-\sqrt{^{2}+4a}}{2}$，x₂=$\frac{b+\sqrt{^{2}+4a}}{2}$，
分析易得f（x）的極小值點為x₁，
∵b＞2$\sqrt{-a}$，（a＜0），
∴x₁=$\frac{b-\sqrt{^{2}+4a}}{2}$=$\frac{-2a}{b+\sqrt{^{2}+4a}}$∈（0，$\sqrt{-a}$），
則f（x）_極小值=f（x₁）=alnx₁-$\frac{1}{2}$x₁²+bx₁=alnx₁-$\frac{1}{2}$x₁²+x₁²-a=alnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-a，
設g（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-a，x∈（0，$\sqrt{-a}$），
f（x）的極小值恒大于0等價為g（x）恒大于0，
∵g′（x）=$\frac{a}{x}$+x=$\frac{a{+x}^{2}}{x}$＜0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{-a}$）上單調(diào)遞減，
故g（x）＞g（$\sqrt{-a}$）=aln$\sqrt{-a}$-$\frac{3}{2}$a≥0，
得ln$\sqrt{-a}$≤$\frac{3}{2}$，即-a≤e³，則a≥-e³，
故a的最小值為是-e³，
故答案為：-e³．

點評 本題主要考查函數(shù)極值的應用，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度極大．