Question

如圖，點(diǎn)P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)結(jié)論：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②A₁P∥平面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④平面PDB₁⊥平面ACD₁．
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．

解答： 解：對(duì)于①，由題意知AD₁∥BC₁，從而B(niǎo)C₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，
所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變，故①正確；
對(duì)于②，連接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得，故②正確；
對(duì)于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，則BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，則P為中點(diǎn)，與P為動(dòng)點(diǎn)矛盾，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，連接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知，故④正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判定，要注意使用轉(zhuǎn)化的思想．