Question

15．定義域為[a，b]的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點，過點M作垂直于x軸的直線l交線段AB于點N（點M與點N可以重合），我們稱|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域為[1，2]上的函數(shù)中，曲徑最小的是（　　）

• A． y=x²
• B． y=$\frac{2}{x}$
• C． y=x-$\frac{1}{x}$
• D． y=sin$\frac{π}{3}$x

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的“曲徑”的定義，逐一求出給定四個函數(shù)的曲徑，比較后，可得答案．

解答 解：當y=f（x）=x²時，端點A（1，1），B（2，4），直線AB的方程為y=3x-2，
故|$\overrightarrow{MN}$|=3x-2-x²，當x=$\frac{3}{2}$時，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為$\frac{1}{4}$，即該函數(shù)的“曲徑”為$\frac{1}{4}$，
當y=f（x）=$\frac{2}{x}$時，端點A（1，2），B（2，1），直線AB的方程為y=-x+3，
故|$\overrightarrow{MN}$|=-x+3-$\frac{2}{x}$，當x=$\sqrt{2}$時，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為3-2$\sqrt{2}$，即該函數(shù)的“曲徑”為3-2$\sqrt{2}$，
當y=f（x）=x-$\frac{1}{x}$時，端點A（1，0），B（2，$\frac{3}{2}$），直線AB的方程為y=$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
故|$\overrightarrow{MN}$|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{2}$，當x=$\sqrt{2}$時，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，即該函數(shù)的“曲徑”為$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，
當y=f（x）=sin$\frac{π}{3}$x時，端點A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故|$\overrightarrow{MN}$|=sin$\frac{π}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當x=$\frac{3}{2}$時，|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即該函數(shù)的“曲徑”為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$的曲徑最小，
故選：C．

點評 本題以新定義--函數(shù)的曲徑為載體，考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)的最值，難度中檔．