Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

6m2

+

y2

2m2

=1（m＞0）的左、右焦點，點P⊆C且

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=4（1）求橢圓C的方程；
（2）作以F₂為圓心，以1為半徑的圓，過動點Q作圓F₂的切線，切點為且使|

QF1

|=

2

|

QM

|，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由a²=6m²，b²=2m²，知2c²=4m²，由

PF1

•

PF2

=0，知|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，由橢圓定義知|

PF1

| +|

PF2

| =2

6

m，由此能得到所求的橢圓方程．
（2）由F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)Q（x，y），知|

QF1

| =

2

|

QM

|，（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，由此能得到所求的軌跡方程．

解答：解：（1）∵a²=6m²，b²=2m²，
∴2c²=4m²，
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=16m²，
由橢圓定義知，|

PF1

| +|

PF2

| =2

6

m，
∴16m²+8=24m²，
∴m²=1，
故所求的橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）由（1）知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)Q（x，y），
∵|

QF1

| =

2

|

QM

|，
∴|

QF1

|2=2|

QM

|2=2(|

QF2

|2-1)，
∴（x+2）²+y²=2[（x-2）²+y²-1]，
化簡，得（x-6）²+y²=34，
故所求的軌跡方程為（x-6）²+y²=34．

點評：本題考查橢圓的方程和點的軌跡方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．