Question

已知拋物線y=-x²+2引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成三角形的面積最小，求l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義l的方程為y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．利用直線可求三角形的邊長，從而可求S，利用求導(dǎo)可求S的極值，進(jìn)而可求S的最值，從而可求直線的方程

解答：解：設(shè)切點(diǎn)P（x₀，-x₀²+2）（x₀＞0），
由y=-x²+2得y′=-2x，
∴k₁=-2x₀．
∴l(xiāng)的方程為y-（-x₀²+2）=-2x₀（x-x₀）．（4分）
令y=0，得x=

x02+2

2x0

令x=0，得y=x₀²+2，
∴三角形的面積為
S=

1

2

x02+2

2x0

•(x02+2)=

x04+4x02+4

4x0

∴S′=

(3x02-2)(x02+2)

4x02

令S′=0，得x₀=

6

3

（∵x₀＞0），
∴當(dāng)0＜x₀＜

6

3

時(shí)，S′＜0；
當(dāng)x₀＞

6

3

時(shí)，S′＞0．
∴x0=

6

3

時(shí)，S取極小值．
∵只有一個(gè)極值，
∴x=

6

3

時(shí)S最小，此時(shí)k₁=-

2 6

3

，切點(diǎn)為（

6

3

，

4

3

）．
∴l(xiāng)的方程為y-

4

3

=-

2 6

3

（x-

6

3

），
即2

6

x+3y-8=0

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值與求解函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．