Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：總有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；

（2）若，求使關(guān)于的方程：有三個(gè)實(shí)數(shù)解的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得知函數(shù)的值域?yàn)?/span>，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的值域，以及該函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出，從而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由題意得出，可知不是方程的根，由參變量分離法得出，令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）原問題等價(jià)為函數(shù)的值域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>；

當(dāng)時(shí)，，

則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí).

所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

由題意可得，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）當(dāng)時(shí)，，可知不是方程的根，

當(dāng)時(shí)，由，得，令，

則，所以，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，此時(shí)，函數(shù)取得最小值，即；

當(dāng)時(shí)，，

由于函數(shù)和函數(shù)都是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

作出函數(shù)和直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.