Question

.（本題滿分12分）

給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)，且與橢圓的“伴隨圓”相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長；

（3）點(diǎn)是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，求證：。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）因為，所以

所以橢圓的方程為，伴隨圓方程……………2分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由   得  

圓心到直線的距離為所以………………………………………6分

（3）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為或，

 當(dāng)方程為時，此時與伴隨圓交于點(diǎn)

此時經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直……………………7分

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到，

即，……………8分

，

經(jīng)過化簡得到：，

因為，所以有，…………………………10分

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………12分

 

【解析】略