已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當x∈[0,1]時,f(x)=x,若在區(qū)間[-1,3]內(nèi),方程f(x)=kx+k+1(k∈R,且k≠1)有4個零點,則k取值范圍是 .
【答案】
分析:在同一坐標系內(nèi)作出y=f(x)圖象和動直線l:y=kx+k+1,觀察直線l可得:當已知方程有4個零點時直線l的活動范圍應該在圖中兩條虛線之間,從而通過求直線斜率得到k取值范圍.
解答:
解:∵偶函數(shù)f(x)當x∈[0,1]時,f(x)=x,
∴當x∈[-1,0]時圖象與x∈[0,1]時關(guān)于y軸對稱,
故x∈[-1,0]時f(x)=-x,
又∵f(x)是以2為周期的函數(shù),
∴將函數(shù)f(x)在[-1,1]上的圖象向左和向右平移2的整數(shù)倍個單位,可得f(x)在R上的圖象.
∵直線l:y=kx+k+1經(jīng)過定點(-1,1),斜率為k
∴直線l的圖象是經(jīng)過定點(-1,1)的動直線.(如右圖)
在同一坐標系內(nèi)作出y=f(x)和動直線l:y=kx+k+1,當它們有4個公共點時,
方程f(x)=kx+k+1(k∈R,且k≠1)有4個零點,
∴直線l的活動范圍應該介于兩條虛線之間,
而兩條虛線的斜率k
1=0,k
2=

=-

,故直線l的斜率k∈(-

,0)
故答案為:(-

,0)
點評:本題給出已知函數(shù)圖象與動直線有4個公共點,求斜率k的取值范圍,著重考查了函數(shù)的周期性、奇偶性和直線的斜率等知識點,屬于中檔題.