Question

函數y=4sin²x+6cosx-6的值域是

1. A.
   [-6，0]
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：同角三角函數間的平方關系sin²x+cos²x=1化簡函數解析式的第一項，把函數解析式化為關于cosx的二次函數，并配方為頂點形式，由x的范圍，根據余弦函數的圖象與性質求出cosx的值域，即為二次函數自變量的取值范圍，根據題意畫出二次函數的圖象，由圖象可得函數的最小值及最大值，即可得到函數的值域．
解答：函數y=4sin²x+6cosx-6
=4（1-cos²x）+6cosx-6
=-4（cosx-）²+，
∵，∴-≤cosx≤1，
根據題意畫出函數圖象，如圖所示：

根據圖象可得當cosx=-時，函數y=-4（cosx-）²+取得最小值，最小值為-6，
當cosx=時，函數y=-4（cosx-）²+取得最大值，最大值為，
則函數的值域為[-6，]．
故選B
點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，同角三角函數的基本關系，余弦函數的定義域與值域，以及二次函數在閉區(qū)間上的最值，利用了數形結合的思想，其中把函數解析式化為關于cosx的二次函數，并畫出相應的圖形是解本題的關鍵．