Question

設(shè)不共線的向量

α

，

β

，滿足

α

•

β

=0，且有|

α

|=|

β

|=1，2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

||，求當(dāng)|

γ

|最大時(shí)，|

α

-

γ

|的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由滿足

α

•

β

=0，可得

α

⊥

β

．又|

α

|=|

β

|=1，不妨設(shè)

α

=（1，0），

β

=（0，1）．由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，利用向量夾角公式可得cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

1

2

．如圖所示，設(shè)

OP

=

γ

．可知：點(diǎn)P在劣弧

BPA

上，且∠APB對(duì)于弦AB張開的角滿足∠APB=60°．由圖可知：當(dāng)且僅當(dāng)OP⊥AB時(shí)，|

γ

|取得最大值，此時(shí)△APB為等邊三角形．即可得出．

解答： 解：由滿足

α

•

β

=0，∴

α

⊥

β

．
又|

α

|=|

β

|=1，
不妨設(shè)

α

=（1，0），

β

=（0，1）．
由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，
∴cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

( α - γ )•( β - γ )

| α - γ | | β - γ |

=

1

2

．
如圖所示，
設(shè)

OP

=

γ

．
則點(diǎn)P在劣弧

BPA

上，且∠APB對(duì)于弦AB張開的角滿足∠APB=60°．
由圖可知：當(dāng)且僅當(dāng)OP⊥AB時(shí)，|

γ

|取得最大值，此時(shí)△APB為等邊三角形．
此時(shí)|

α

-

γ

|=|

AP

|=|

AB

|=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的夾角公式、向量的三角形法則、圓的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．