Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{3{x}^{2}+3}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax³-a²x．
（1）設(shè)a≠0，若對(duì)任意x₁∈[0，2]，總存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₀），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）點(diǎn)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）為函數(shù)f（x）圖象上不同的兩點(diǎn)，求證：直線AB的斜率小于2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）在[0，2]上的值域，在求導(dǎo)g'（x），從而確定函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；
（2）直線AB的斜率轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f'（x）的最值問(wèn)題即可；

解答 解：（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，（-1，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減；
f（0）=0，f（2）=$\frac{8}{15}$，f（1）=$\frac{2}{3}$
f（x）在[0，2]上的取值范圍為：[0，$\frac{2}{3}$]
對(duì)g（x）求導(dǎo)：g'（x）=ax²-a²=a（x²-a），a＞0時(shí)，計(jì)算得出x=$\sqrt{a}$．
當(dāng)0＜a＜4時(shí)，g'（x）＞0，∴$\sqrt{a}＜x≤2$；g'（x）＜0，∴0$≤x＜\sqrt{a}$
∴g（x）在[0，$\sqrt{a}$]上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，2]上單調(diào)遞增，
顯然g（$\sqrt{a}$）＜g（0）=0
根據(jù)題意可知，g（2）$≥\frac{2}{3}$，即3a²-4a+1≤0，
∴$\frac{1}{3}≤a≤1$
當(dāng)a≥4時(shí)，g'（x）≤0，所以g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0），不合題意；
當(dāng)a≤0時(shí)，x∈[0，2]，g（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$，不滿足y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]；
綜上：$\frac{1}{3}≤a≤1$
（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，（-1，1）上單調(diào)遞增，（1，+∞）上單調(diào)遞減；
令y=f'（x），則有y=$-\frac{12}{9}×\frac{{x}^{2}-1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
令t=x²+1≥1，則y=-$\frac{4}{3}$（t-$\frac{2}{{t}^{2}}$），因?yàn)閠與-$\frac{2}{{t}^{2}}$在t＞1都是增函數(shù)，所以y在t＞1上是減函數(shù)；
故${y}_{max}=y（1）=\frac{4}{3}$，此時(shí)t=1⇒x=0；
也即是當(dāng)x=0時(shí)，y=f'（x）取得最大值，同時(shí)f（0）=0；
當(dāng)A為原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)限趨向于A點(diǎn)坐標(biāo)，則此時(shí)曲線f（x）上兩點(diǎn)的最大斜率趨向于$\frac{4}{3}$＜2．
故得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題，以及函數(shù)求最值方法與轉(zhuǎn)化思想，屬中等題．