如圖所示,在正三棱柱ABC-中,AB=3,A=4,M為A的中點(diǎn),P是BC上一點(diǎn),且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱C到M的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線(xiàn)與C的交點(diǎn)為N.求:

(1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng);

(2)PC和NC的長(zhǎng);

(3)平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示).

答案:略
解析:

本小題主要考查直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系、棱柱等基本知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

解:(1)正三棱柱ABC-的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9,寬為4的矩形,如圖所示,其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

(2)如圖所示,將側(cè)面BC繞棱C旋轉(zhuǎn)120°使其中與側(cè)面AC在同一平面上,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的位置,連結(jié)M,則M就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱C到點(diǎn)M的最短路線(xiàn).

設(shè)PC=x,則C=x

Rt中,由勾股定理得,求得x=2

PC=C=2

(3)略.

將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,平面內(nèi)兩點(diǎn)的連線(xiàn)最短是解決此題的關(guān)鍵.


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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)是2,D是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)M 是棱BB1的中點(diǎn),又CM⊥AC1
(Ⅰ)求證:A1B∥平面AC1D;
(Ⅱ)求二面角C-AC1-D的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為
2
2
a
,D是棱A1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BC1∥平面AB1D;
(Ⅱ)求二面角A1-AB1-D的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱長(zhǎng)均為1,求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離.
精英家教網(wǎng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)是2,D是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在棱BB1上,且BM=
13
B1M,又CM⊥AC1
(Ⅰ)求證:A1B∥平面AC1D;
(Ⅱ)求三棱錐B1-ADC1體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•日照一模)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是2,D是側(cè)棱CC1上任意一點(diǎn),E是A1B1的中點(diǎn).
(I)求證:A1B1∥平面ABD;
(II)求證:AB⊥CE;
(III)求三棱錐C-ABE的體積.

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