已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意x∈R,滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=
1
2
x,則方程f(x)=
1
2
(x∈[-4,4])的解集為
{-3,1}
{-3,1}
分析:由f(x+2)=-f(x),可得函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)1≤x≤3時,求得f(x)的解析式為 1-
1
2
x.根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)在[-4,4]上的圖象,本題即求函數(shù)f(x)的圖象和直線y=
1
2
交點的橫坐標(biāo),數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論.
解答:解:由f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=f(x),
故函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).
由于當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=
1
2
x,
故當(dāng)1≤x≤3時,有-1≤x-2≤1,
f(x)=f[(x-2)+2]=-f(x-2)=-
1
2
(x-2)=1-
1
2
x.
故有f(x)=
1
2
x  ,-1≤x≤1
1-
1
2
x  ,1≤x≤3

根據(jù)函數(shù)的周期性畫出函數(shù)在[-4,4]上的圖象,
根據(jù)題意可得,本題即求函數(shù)f(x)的圖象和直線y=
1
2
交點的橫坐標(biāo).
如圖所示:數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f(x)的圖象和直線y=
1
2
交點的橫坐標(biāo)為-3、1,
故答案為 {-3,1}.
點評:本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用,函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
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已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時,f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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