Question

如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中點(diǎn)，求證：
（1）PQ∥平面DCC₁D₁
（2）EF∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC、D₁C，Q是AC的中點(diǎn)，從而PQ∥D₁C，由此能證明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，由已知得平面FGE∥平面BB₁D₁D，由此能證明EF∥平面BB₁D₁D．

解答： （1）證明：連結(jié)AC、D₁C，
∵ABCD是正方形，∴Q是AC的中點(diǎn)，
又P是AD₁的中點(diǎn)，∴PQ∥D₁C，
∵PQ?平面DCC₁D₁，D₁C?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）證明：取CD中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，
∵E，F(xiàn)分別是BC，C₁D₁的中點(diǎn)，
∴FG∥D₁D，EG∥BD，
又FG∩EG=G，∴平面FGE∥平面BB₁D₁D，
∵EF?平面FGE，∴EF∥平面BB₁D₁D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．