已知函數(shù)f(x)=x3-ax,
(Ⅰ)當(dāng)a=3時,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=ax(|x+a|-1),記h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,2]),當(dāng)函數(shù)h(x)的最大值為0時,求實數(shù)a的取值范圍。
解:(Ⅰ)∵f(x)=x3-3x,
∴f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
∵f′(x)>0x>1或x<-1,且x∈[-2,2],
∴函數(shù)f(x)在[-2,-1]上遞增,[-1,1]上遞減,[1,2]上遞增,
∵f(-2)=f(1)=-2,
∴fmin(x)=-2,
∵f(0)=-2,而f(2)=2,
∴fmax(x)=2;
(Ⅱ)h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax|x+a|(x∈[0,2]),
(1)當(dāng)a≤0時,h(x)=x3-ax|x+a|≥0,
∵h(0)=0,且0<x≤2時h(x)>0,顯然不符合題設(shè);
(2)當(dāng)a>0時,∵x≥0,h(x)=x3-ax2-a2x,
∴h′(x)=3x2-2ax-a2=(x-a)(3x+a),
∵x≥0,
∴h′(x)>0x>a,
①當(dāng)a≥2時,必有h′(x)≤0,
∴h(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,則最大值為h(0)=0,滿足題設(shè);
②當(dāng)0<a<2時,∵h′(x)>0x>a,
∴h(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,(a,2]上單調(diào)遞增,
則h(x)max=max(h(0),h(2)),
∵h(0)=0,只需h(2)≤0,即8-4a-2a2≤0,
解得,
;
綜上得,所求實數(shù)a的取值范圍是
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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