Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足A+C=2B，且cos（B+C）=-

11

14

．
（1）求cosC的值； 
（2）若a=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由A+C=2B結合三角形的內(nèi)角和定理，算出B=

π

3

，利用同角三角函數(shù)的關系算出sin（B+C）=

5 3

14

．最后利用配角：C=（B+C）-B，結合兩角差的余弦公式即可算出cosC的值； 
（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

且sinA=sin（B+C）=

5 3

14

．利用正弦定理算出邊c的長，利用面積公式加以計算，可得三角形面積S=

1

2

acsinB=10

3

．

解答：解：（1）∵A+C=2B，A+B+C=π，∴3B=π，得B=

π

3

   …（1分）
∵由cos（B+C）=-

11

14

，可得sin（B+C）=

1-cos2(B+C)

=

5 3

14

    …（3分）
∴cosC=cos[（B+C）-B]=-

11

14

×

1

2

+

5 3

14

×

3

2

=

1

7

．…（6分）
（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

4 3

7

sin（B+C）=sinA=

5 3

14

…（8分）
在△ABC中，由正弦定理  

c

sinC

=

b

sinB

=

a

sinA

∴c=

asinC

sinA

=

5× 4 3 7

5 3 14

=8      …（10分）
三角形面積S=

1

2

acsinB=

1

2

×5×8×sin

π

3

=10

3

．…（12分）

點評：本題給出三角形滿足的條件，求角的余弦值并求三角形的面積．著重考查了正余弦定理解三角形、三角恒等變換公式和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．