Question

（2013•青浦區(qū)一模）設(shè)直線L₁：y=k₁x+p，p≠0交橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．
（1）若E為CD的中點(diǎn)，求證：k1•k2=-

b2

a2

；
（2）寫(xiě)出上述命題的逆命題并證明此逆命題為真；
（3）請(qǐng)你類比橢圓中（1）、（2）的結(jié)論，寫(xiě)出雙曲線中類似性質(zhì)的結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)作差，利用點(diǎn)差法，結(jié)合E為CD的中點(diǎn)，即可證明結(jié)論；
（2）寫(xiě)出逆命題，證法一，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到結(jié)論；證法二，利用點(diǎn)差法證明；
（3）利用類比的方法，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀），則

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

2x0(x1-x2)

a2

+

2y0(y1-y2)

b2

=0…（3分）
∴k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2•x0

a2•y0

=-

b2

a2•k2

∴k1•k2=-

b2

a2

…（7分）
（2）解：逆命題：設(shè)直線L₁：y=k₁x+p交橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．若k1•k2=-

b2

a2

，則E為CD的中點(diǎn)．…（9分）
證法一：由方程組

y=k1x+p x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2

k

2 1

)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…（10分）
因?yàn)橹本�L₁：y=k₁x+p交橢圓C、D于C、D兩點(diǎn)，
所以△＞0，即a2

k

2 1

+b2-p2＞0，設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、E（x₀，y₀）
則∴x0=

x1+x2

2

=

-k1pa2

b2+a2 k 2 1

，y0=

y1+y2

2

=

pb2

b2+a2 k 2 1

…（12分）

y=k1x+p y=k2x

⇒

x= p k2-k1 y=k2x

又因?yàn)?span id="3lxlxpz" class="MathJye">k1•k2=-

b2

a2

，所以

x= p k2-k1 = -a2k1p b2+a2 k 2 1 =x0 y=k2x= b2p b2+a2 k 2 1 =y0

，故E為CD的中點(diǎn)．…（14分）
證法二：設(shè)C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀）
則

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
兩式相減得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2•(x1+x2)

a2•(y1+y2)

…（9分）
又∵k1•k2=-

b2

a2

 ，k2=

y0

x0

，

y1+y2

x1+x2

=

x0

y0

即

k1x1+p+k2x2+p

x1+x2

=

kx0+p

x0

…（12分）∴k1+

2p

x1+x2

=k1+

p

x0

得x₁+x₂=2x₀∴y₁+y₂=2y₀，即E為CD的中點(diǎn)．…（14分）
（3）解：設(shè)直線L₁：y=k₁x+p，p≠0交雙曲線Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0 ，b＞0)于C、D兩點(diǎn)，交直線L₂：y=k₂x于點(diǎn)E．
則E為CD中點(diǎn)的充要條件是k1•k2=

b2

a2

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．