Question

【題目】若二次函數f（x）=x2+bx+c滿足f（2）=f（﹣2），且函數的f（x）的一個根為1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）對任意的x∈[ ，+∞），方程4mf（x）+f（x﹣1）=4﹣4m有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，函數的f（x）的一個根為1，b+c=0，

f（2）=f（﹣2）可得：4+2b+c=4﹣2b+c，

∴b=0，c=﹣1，

∴f（x）=x2﹣1．

（2）解：由題意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，

整理得 在 上有解，

令g（x）= ，

∵ ，∴

當 時，函數g（x）得最大值 ，

所以

【解析】（1）利用函數的零點，即可求函數f（x）的解析式；（2）由題意可得4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，反例變量，構造函數，利用二次函數的性質求解即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．